الجبر الخطي الأمثلة

$2 x + 3 y - z = 3$ , $x - y + z = 0$ , $x - 2 y - 2 z = 3$

خطوة 1

اكتب سلسلة المعادلات في شكل مصفوفة.

$[\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 & - 2 & - 2 & 3 \end{array}]$

خطوة 2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{3}{2} & \frac{- 1}{2} & \frac{3}{2} \\ 1 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 & - 2 & - 2 & 3 \end{array}]$

خطوة 2.1.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 1 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 & - 2 & - 2 & 3 \end{array}]$

خطوة 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 1 - 1 & - 1 - \frac{3}{2} & 1 + \frac{1}{2} & 0 - \frac{3}{2} \\ 1 & - 2 & - 2 & 3 \end{array}]$

خطوة 2.2.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & - \frac{5}{2} & \frac{3}{2} & - \frac{3}{2} \\ 1 & - 2 & - 2 & 3 \end{array}]$

خطوة 2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & - \frac{5}{2} & \frac{3}{2} & - \frac{3}{2} \\ 1 - 1 & - 2 - \frac{3}{2} & - 2 + \frac{1}{2} & 3 - \frac{3}{2} \end{array}]$

خطوة 2.3.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & - \frac{5}{2} & \frac{3}{2} & - \frac{3}{2} \\ 0 & - \frac{7}{2} & - \frac{3}{2} & \frac{3}{2} \end{array}]$

خطوة 2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} (- \frac{5}{2}) & - \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{2} & - \frac{2}{5} (- \frac{3}{2}) \\ 0 & - \frac{7}{2} & - \frac{3}{2} & \frac{3}{2} \end{array}]$

خطوة 2.4.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \\ 0 & - \frac{7}{2} & - \frac{3}{2} & \frac{3}{2} \end{array}]$

خطوة 2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{7}{2} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{7}{2} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \\ 0 + \frac{7}{2} \cdot 0 & - \frac{7}{2} + \frac{7}{2} \cdot 1 & - \frac{3}{2} + \frac{7}{2} (- \frac{3}{5}) & \frac{3}{2} + \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{5} \end{array}]$

خطوة 2.5.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \\ 0 & 0 & - \frac{18}{5} & \frac{18}{5} \end{array}]$

خطوة 2.6

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{5}{18}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{5}{18}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \\ - \frac{5}{18} \cdot 0 & - \frac{5}{18} \cdot 0 & - \frac{5}{18} (- \frac{18}{5}) & - \frac{5}{18} \cdot \frac{18}{5} \end{array}]$

خطوة 2.6.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \end{array}]$

خطوة 2.7

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{3}{5} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{3}{5} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 + \frac{3}{5} \cdot 0 & 1 + \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} + \frac{3}{5} \cdot 1 & \frac{3}{5} + \frac{3}{5} \cdot - 1 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \end{array}]$

خطوة 2.7.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \end{array}]$

خطوة 2.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{2} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{2} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 & \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \end{array}]$

خطوة 2.8.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \end{array}]$

خطوة 2.9

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot 1 & 0 - \frac{3}{2} \cdot 0 & 1 - \frac{3}{2} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \end{array}]$

خطوة 2.9.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \end{array}]$

خطوة 3

استخدِم مصفوفة النتيجة لبيان الحلول النهائية لسلسلة المعادلات.

$x = 1$

$y = 0$

$z = - 1$

خطوة 4

الحل هو مجموعة الأزواج المرتبة التي تجعل النظام صحيحًا.

$(1, 0, - 1)$

خطوة 5

حلّل متجه الحل بإعادة ترتيب كل معادلة ممثلة بالصيغة المختزلة صفيًا للمصفوفة الموسّعة من خلال إيجاد المتغير غير المستقل في كل صف ينتج عنه تساوي المتجه.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]$